Álgebra linear Exemplos

$x + y + z = 12$ , $2 x - 3 y + 2 z = 4$ , $x + z = 2 y$

Step 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$

Step 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

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Estabeleça uma matriz que seja dividida em duas partes iguais. No lado esquerdo, preencha os elementos da matriz original. No lado direito, preencha os elementos da matriz identidade. Para encontrar a matriz inversa, use as operações de linha para converter o lado esquerdo em matriz identidade. Depois disso, o inverso da matriz original estará do lado direito da matriz dupla.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) - 3 & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) - 2 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{2}{5}) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (3) \cdot (0) + 0 & (3) \cdot (1) - 3 & (3) \cdot (0) + 0 & (3) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (3) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (3) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (5) \cdot (0) & (5) \cdot (0) & (5) \cdot (0) & (5) \cdot (\frac{1}{5}) & (5) \cdot (- \frac{3}{5}) & (5) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{5}) \cdot (1) + \frac{3}{5} & (- \frac{3}{5}) \cdot (- 3) + \frac{1}{5} & (- \frac{3}{5}) \cdot (5) + 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 3) - \frac{1}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (5) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Como o determinante da matriz é zero, não há inverso.

Nenhum inverso

Step 3

Como a matriz não tem um inverso, ela não pode ser resolvida usando a matriz inversa.

Nenhuma solução